予約印刷時間の計算／M/M/1待ち行列モデル

 承知しました。

ご要望は以下の内容ですね：

1. 平成29年秋 午前Ⅱ 問23（テーマ：予約印刷時間の計算／M/M/1待ち行列モデル）を提示する。

2. その上で 類題10問 を作成し、各問に 解答・解説 を付す。

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【平成29年秋 午前Ⅱ 問23（元問題の要約）】

> 問題

あるプリンタサーバは、Poisson分布に従って平均10件/分で印刷要求が到着する。印刷処理時間は平均5秒で、指数分布に従うとする。このとき、平均予約印刷時間（待ち時間＋サービス時間）はどのくらいか。

（M/M/1待ち行列モデルを前提とする）

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【解答】

到着率 λ = 10件/分 = 1/6 件/秒

サービス率 μ = 1/5 件/秒 = 0.2 件/秒

系の利用率 ρ = λ/μ = (1/6) ÷ 0.2 = 0.8333

平均系内時間（W） = 1 / (μ - λ)

= 1 / (0.2 - 0.1667)

= 1 / 0.0333 = 約30秒

正解：30秒

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【類題10問＋解答・解説】

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問題1

平均到着率が 2件/秒、平均サービス時間が 0.4秒のM/M/1待ち行列の平均系内時間は？

解答

λ = 2件/秒

μ = 1/0.4 = 2.5件/秒

W = 1 / (μ - λ) = 1 / (0.5) = 2秒

解説

利用率ρ = 2/2.5 = 0.8。安定条件を満たすのでW=2秒。

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問題2

平均到着率 λ=4件/分、平均サービス時間=10秒。M/M/1で平均待ち時間（系内時間ではなく待機時間）は？

解答

λ = 4/60 = 0.0667件/秒

μ = 0.1件/秒

Wq = λ / (μ(μ - λ)) = 0.0667 / (0.1 × 0.0333) ≈ 20秒

解説

平均待ち時間Wqは公式Wq=ρ/(μ-λ)/μから導出できる。

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問題3

サービス率 μ=3件/秒、到着率 λ=2.5件/秒。平均系内人数Lを求めよ。

解答

ρ=2.5/3=0.8333

L=ρ/(1-ρ)=0.8333/0.1667=5

解説

リトルの法則 L=λW を用いても計算できる。

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問題4

M/M/1で、到着率 λ=1件/秒、平均系内時間 W=4秒。サービス率 μはいくらか。

解答

W=1/(μ-λ)=4

μ-1=1/4 → μ=1.25件/秒

解説

逆算問題。系内時間の公式からμを求める。

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問題5

平均サービス時間=0.2秒、利用率ρ=0.9。平均サービス率μと到着率λを求めよ。

解答

μ=1/0.2=5件/秒

λ=ρμ=0.9×5=4.5件/秒

解説

利用率定義 ρ=λ/μ を用いる。

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問題6

M/M/1において、到着率 λ=0.05件/秒、サービス率 μ=0.1件/秒。平均待ち人数Lqは？

解答

ρ=0.5

Lq=ρ^2/(1-ρ)=0.25/0.5=0.5人

解説

平均待ち人数の公式 Lq=λWq でも同じ結果。

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問題7

到着率 λ=12件/分、サービス時間=4秒。平均系内時間を秒で答えよ。

解答

λ=0.2件/秒

μ=0.25件/秒

W=1/(μ-λ)=1/0.05=20秒

解説

利用率は0.8。負荷が高いため待ち時間が長くなる。

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問題8

サービス率 μ=10件/秒、利用率ρ=0.6。平均待ち時間 Wqは？

解答

λ=ρμ=6件/秒

Wq=λ/(μ(μ-λ))=6/(10×4)=0.15秒

解説

利用率からλを導き、公式で待ち時間を計算。

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問題9

M/M/1で、平均系内人数L=8、到着率λ=2件/秒。平均系内時間Wは？

解答

L=λW → 8=2×W → W=4秒

解説

リトルの法則を直接利用する典型問題。

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問題10

M/M/1で、平均系内時間W=5秒、サービス率μ=0.25件/秒。到着率λは？

解答

W=1/(μ-λ)=5

μ-λ=0.2 → λ=0.25-0.2=0.05件/秒

解説

Wの式から逆算してλを求める。

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✅ 以上で「平成29年秋 午前Ⅱ 問23」と、その類題10問＋解答・解説をまとめました。

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ご希望があれば、これを 午後Ⅰ形式（短文解析・穴埋め） や 午後Ⅱ形式（シナリオ問題） に発展させることも可能です。

👉 次は午後Ⅰ形式に展開しますか？